一个规划的大纲,中美科学家建立拓扑材料基因

2019-12-28 作者:开元棋牌资讯   |   浏览(155)

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中美科学家建立拓扑材料基因库

一个规划的大纲

开元国际棋牌 2Récoltes et Semailles)的书稿,才是这些反思的去处。他现在要写的,是对今后科研的计划,直白地说,就是一份求职文件,申请的是CNRS的研究员职位,这可以让他免去教学的义务,专心于他的数学研究。他获得过菲尔兹奖,拒绝过克拉福德奖,这些数学界的最高荣誉,对他来说微不足道,他只要继续他的探索。

他并不喜欢体制。纳粹将他的童年破坏得支离破碎,这也许是他反体制反战争思想的来源。正是因为当年法国高等研究所接受了几笔来自军方的资助,他才愤而离开那个数学的乐园,转身投入轰轰烈烈的社会活动。现在又要回到体制,他心里大概也有些挣扎。但他决定了,即使回到体制,也要坚决拒绝腐蚀,绝对不履行那些违反良心的所谓“义务”。

但对数学真理的好奇和渴求大概根植于他心灵的更深处。当年同样的渴求让他出发重新构建了代数几何——那可是一整个数学分支——沿途还得到了无数深刻的结果。现在,他看到了一片肥沃的处女地,但却没人愿意跟他一起耕耘。他大概有些不适应。在法国高等研究所的日子里,他可是领军人物,多少人为听他一席话专程赶到巴黎郊外的Bures-sur-Yvette,那可是一段连现在的轻轨也要花上半小时以上的小旅行。他不知道,70年代他那些鲁莽的抗争,在一定程度上损害了他的声誉。既然没有人来做,那就只能自己来了,他大概是这样想的。

开元国际棋牌 3(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$的作用、有限域上的正则多面体、驯顺拓扑(topologie modérée)……他笔下倾泻出近年他关心的数学领域和数学对象,这一写就是48页,还没算上注记。

所有这些想法,其实已经被他写在了另一份文件上,那就是《穿越伽罗华理论的长征》(La Longue Marche à Travers la Théorie de Galois)。但这份完成于1981年,长达1300页的手稿,仅仅为了他自己一个人而写,即使向别人展示,大概也没多少人会有耐心读下去吧。1300页也许很长,但对于一直艰苦工作的格罗滕迪克来说,并不算什么。在他的黄金岁月里,有时候为了节省时间,他仅仅以香蕉和牛奶度日,终日除了休息就是研究代数几何,但这并不影响他思维的敏锐以及清晰的文笔。然而,对于求职文件而言,直接从《穿越伽罗华理论的长征》引述的话,显然不太合适。他面对的评审委员会不可能对他研究的细枝末节都了如指掌,他需要从基础说起,简洁地铺陈出他的想法。

这份求职文件,就是《一个规划的大纲》(Esquisse dun programme)。也许数学史上再也没有别的求职文件像它那样充满真知灼见了。它很长一段时间没有被正式发表,只在数学圈子里私下流传,但它对数学的影响大概比大部分正式发表的数学论文要更大。它开创了代数几何的一个新领域,这个领域叫远阿贝尔几何(anabelian geometry)。对的,就是望月新一研究的那个远阿贝尔几何。

而对他建立这一套体系起了关键推动作用的,就是二部地图和别雷定理。所有二部地图都能给出一条对应的光滑代数曲线,但这样能否得到所有的光滑代数曲线呢?

“这样的假设当时似乎很离谱,我甚至不敢向这方面的行家询问这个问题。我问过德利涅,他也觉得确实很离谱,但手头上没有反例。不到一年之后,在赫辛斯基的国际数学家大会上,苏联数学家别雷就宣布了这个结果,他的证明简洁得不合常理,在德利涅的信里只占了两页——也许从来没有过如此深刻而奇妙的结果能用那么少的行数来证明!”

(Une telle supposition avait l’air à tel point dingue que jétais presque gêne de la soumettre aux competences en la matière. Deligne consulté trouvait la supposition dingue en effet, mais sans avoir un contre-exemple dans ses manches. Moins d’un an après, au Congrès International de Helsinki, le mathematicien sovietique Bielyi annonce justement ce résultat, avec une demonstration dune simplicite deconcertante tenant en deux petites pages d’une lettre de Deligne – jamais sans doute un résultat profond et déroutant ne fut demontre en si peu de lignes!)

值得一提的是,德利涅是格罗滕迪克的学生,同样是菲尔兹奖获得者。在格罗滕迪克离群索居的岁月里,德利涅几乎是他获取数学新进展的唯一来源。可以看出,别雷定理给格罗滕迪克带来了多大的震动!他把别雷定理对应的二部地图称为“儿童涂鸦”(dessin denfant),连小朋友都能随手画出的东西,竟然蕴含着这么丰富的数学内涵!这也为他打开了一道新想法的大门:也许通过研究像组合地图这样非常简单易懂的数学对象,就能探究代数几何这门艰深学科中更深层的结构。在《一个规划的大纲》中,他探讨的就是这个可能性。

在代数数论中,所谓的“有理数的绝对伽罗华群”Gal⁡(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$在研究中占据了重要的地位。不要被看似复杂的符号吓倒,这就是个代号而已。可以说,代数数论中的大部分研究最终都可以跟这个群扯上关系。我们知道,群描述的是对称性,而绝对伽罗华群Gal⁡(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$描述的则是所有代数数(也就是整系数方程的根)的对称性,它的每一个元素都是代数数集合的对称变换,惟独保持每个有理数不变。这样的对称变换又叫有理数的伽罗华变换。但到目前为止,我们仍无缘一睹这个群的全貌。对于那些“交换”(也就是满足ab=ba)的部分,我们已经理解得相当透彻,但这个群的精妙之处在于它“非交换”,也就是“非阿贝尔”的部分,而我们对此仍然所知甚少。对整个绝对伽罗华群Gal⁡(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$结构的研究,是代数数论以至代数几何的重要课题之一。格罗滕迪克的“远阿贝尔几何”,实际上就是尝试研究绝对伽罗华群Gal⁡(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$,甚至是任意域的绝对伽罗华群,又或者更广泛的“任意代数簇的平展基本群”(étale fundamental group of algebraic varieties),它们“远离阿贝尔”的部分到底如何影响相应的代数结构的几何性质。

开元国际棋牌 4(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$可以作用在所有儿童涂鸦上,因为每个儿童涂鸦对应着一个光滑代数曲线,也就是一个系数是代数数的多项式,而绝对伽罗华群Gal⁡(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$作为代数数的对称群,当然可以通过对系数的对称变换间接作用在二部地图上。不仅如此,这个作用还是“忠实”的,也就是说,可以通过研究绝对伽罗华群Gal⁡(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$在所有儿童涂鸦上的作用来研究这个群本身。

在绝对伽罗华群Gal⁡(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$中最简单的不平凡变换就是复共轭,也就是将虚数单位i>ii换为−i>−i − i的变换。根据高中的数学知识,在复平面上,复共轭就是沿实数轴的镜像对称,所以它作用在儿童涂鸦上,得到的也是儿童涂鸦的镜像对称。如果一个儿童涂鸦的镜像对称还是它自己,根据别雷定理,复共轭作用到相应的代数曲线上必定得到原来的代数曲线,也就是说所有系数都是实数。如果两个儿童涂鸦互为镜像对称,它们对应的代数曲线的系数必定互为共轭,也就是说起码有一些系数是虚数。这就是我们之前猜测的理论依据。

开元国际棋牌 5(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$呢?如果能知道这一点,就相当于刻画了绝对伽罗华群Gal⁡(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$本身。但这是个极端困难的问题。格罗滕迪克当时有一些初步的想法,但这远远不够。如果仅仅依靠儿童涂鸦的组合性质,就能刻画绝对伽罗华群Gal⁡(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$的话,这将会震动代数几何学界:代数几何中深刻的结论,竟然可以从更简单基础的组合数学得出。

儿童涂鸦有着不少的组合不变量,它们在绝对伽罗华群Gal⁡(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$的变换下保持不变:顶点个数、顶点度数、面的个数、面的度数、等等。除了这些看似简单的不变量,我们还可以给每个儿童涂鸦赋予一个群,这个群被称为“儿童涂鸦的单值群”,有时也被直接称作“地图群”。这些地图群拥有更为复杂的结构,但同样在绝对伽罗华群Gal⁡(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$的变换下保持不变。格罗滕迪克的希望,就是在众多的组合不变量中能找到合适的组合,来刻画绝对伽罗华群Gal⁡(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$。

注:然而事不如人愿。实际上,单纯的组合不变量不足以做到这一点。A. Zvonkine举出了一个例子,说明要判断两个不同的儿童涂鸦能否通过绝对伽罗华群Gal⁡(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$的作用联系在一起,有时还需要考虑一些数论方面的性质。数学家正在研究这样的情况何时会出现,原因又是什么。

但这还只是故事的开端。格罗滕迪克考虑了所谓的Teichmüller层级(tour de Teichmüller),它的定义非常抽象,但绝对伽罗华群Gal⁡(Q¯/Q)>Gal(Q¯¯¯¯/Q)${Gal}(overset{¯}{mathbb{Q}}/mathbb{Q})$同样可以作用于其上。这个Teichmüller层级由无穷个复杂的数学对象一层一层构成。格罗滕迪克认为,要研究有理数上的远阿贝尔几何,从Teichmüller层级入手可能是比较好的方法。他认为,Teichmüller层级所有更高的部分都可以由前两层组合而来,第一层提供的是元素,第二层提供的是元素之间的关系。而这前两层恰好对应着光滑代数曲线,第二层对应的则是在数论中有着广泛应用的椭圆曲线。这就给儿童涂鸦的研究提供了充足的动机。

读到这里的读者,大概都会有一种不明觉厉的感觉。这非常正常,笔者也花了相当的时间,向不同的人请教过,才勉强捉摸到格罗滕迪克整个远阿贝尔集合计划的轮廓。格罗滕迪克写作时,文笔优美思路清晰,这份《一个规划的大纲》也不例外。但他谈论的数学实在过于抽象,难以理解。但这就是格罗滕迪克做数学的风格:尽可能从数学对象中将不必要的细节抽象出来,抽象得一般的数学家都会以为剩下的只有“虚空”,然而他仍然能从“虚空”中抓住某些东西,从而建立他的理论,完成他的证明。用格罗滕迪克本人的说法,如果把数学问题比作坚果,大部分数学家做的就是用锤子和凿子把坚果凿开,而他的做法则是将坚果浸在水里,慢慢软化它的外壳,又或者让它经受风吹日晒,然后等待合适的时机,坚果自然就会裂开。

开元国际棋牌 6失之东隅

即使他的这份研究计划充满洞见,格罗滕迪克向CNRS递交的职位申请可是让CNRS的管理者伤透了脑筋。在职位申请的档案中,他特地写了一封信,列出了如果被CNRS雇用,他将会拒绝执行的一些CNRS雇员的义务。他的数学能力无可置疑,在60年代就职法国高等研究院之前他也曾经是CNRS的研究员(maître de recherche),但大概没有政府组织会乐意接受像他这样反体制的刺儿头。最后,在许多数学家同行的斡旋下,CNRS以一种特殊的形式“雇用”了格罗滕迪克:他仍然保留在大学的职位,但由CNRS负责他的薪水。于是,他名义上还是大学教授,但因为薪水来自CNRS,他不需要承担任何的教学义务;而又因为他名义上还是大学教授,他不需要负担CNRS雇员的义务。自此之后,他就越来越少踏足大学,直到四年后的1988年他正式退休。

在晚年,他的心灵在混乱中挣扎不休。在1990年,他将一些数学论文、通讯和手稿转赠给了他的学生Malgoire,与此同时,他烧毁了大部分的与数学无关的手稿,总共大概二万五千页,全部付诸一炬。因此,我们现在无法得知他童年的具体经历。他逐渐切断了与数学界的联系,躲进了比利牛斯山脉脚下的某个小村庄,过着隐居避世的生活。而他在远阿贝尔几何上,没有什么进展。

最后,在2014年11月13日,他永远切断了与这个世界的联系。

开元国际棋牌 7后记

这是一篇纪念性的文章,试验性质非常重。读到这里的读者,非常感谢你们容忍我的任性,以及所有这些不明觉厉的数学术语。这篇文章讲到的数学既简单又复杂,如果我感受到的数学之美能够向你们传递到一点点的话,我就很满足了。

我对代数几何并不熟悉。在本文写作的过程中,不愿透露姓名的金先生和欧先生给了我很大的帮助。因为他们的研究领域与代数几何相关,所以我曾多次请教他们相关的问题,而他们也很耐心地向我解释了别雷定理以及格罗滕迪克的工作,在这里要再次谢谢他们。当然,如果文章中仍然存在疏漏,那仍然是我个人才疏学浅的责任。

这篇文章的灵感来自Alexandre Zvonkine在波尔多的演讲《Weighted trees》。他是我所在的研究团队的一员,大家都叫他的爱称Sacha,而他今年就要退休了,所以整个团队为他办了一场送别活动,请到了他的合作者和家属讲述他的工作和生活,《Weighted trees》就是他在送别活动上作的演讲。他高水平的演讲生动地说明了儿童涂鸦和别雷定理结合之后可以产生许多有趣的结果。这篇文章就是受他演讲的启发而写的,也用到了他幻灯片中的不少例子。我到波尔多时间不长,但也感受到他的友好。他听说我要写这么一篇文章之后,立刻问我有什么他能帮忙的,之后还关心文章什么时候写好,尽管他看不懂中文。很惭愧,跟他的演讲相比,我只做了一点微小的工作,而且还拖延了这么久。尽管有点迟,这篇文章就作为他退休之际,我送上的一点薄礼吧!

Merci beaucoup Sacha ! Bonne retraite !

开元国际棋牌 8参考文献

Alexandre Zvonkine.Weighted trees, Journées Combinatoires de Bordeaux, 2016

Sergey Lando and Alexander Zvonkin. Graphs on surfaces and their applications, volume 141 of Encyclopaedia of Mathematical Sciences. Springer-Verlag, 2004.

Alexandre Grothendieck.Esquisse dun programme, 1984

Allyn Jackson. Comme Appelé du Néant —— As If Summoned from the Void: The Life of Alexandre Grothendieck, Notices of the AMS, Volume 51, Number 9 and 10, 2004,http://www.ams.org/notices/200409/fea-grothendieck-part1.pdfhttp://www.ams.org/notices/200410/fea-grothendieck-part2.pdf

Wenjie Fang. Aspects énumératifs et bijectifs des cartes combinatoires : généralisation, unification et application, PhD Thesis, 2016.

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新华社南京3月2日电记者2日从南京大学了解到,该校万贤纲教授团队与美国哈佛大学的研究人员合作发明了一种高效预测拓扑材料的方法,首次系统建立起近万种拓扑材料的“基因库”。相关成果近日在国际权威学术期刊《自然》发表。

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