关于初中物理教学中学生创新能力培养探讨,初

2019-12-28 作者:开元棋牌资讯   |   浏览(198)

图片 1

地图的魔术

我们先回到一开始的问题:对于某个正整数k>kk,假设有两个互质的多项式P(x),Q(x)>PP(x), Q(x),其中P(x)>PP(x)的次数是3k>3k3k,Q(x)>QQ(x)的次数是2k>2k2k。那么,多项式R(x)=P(x)2−Q(x)3>R2−Q3R(x) = P(x)2 − Q(x)3的次数最小可以有多小?

我们现在用别雷函数、球面覆盖和二部地图的眼光来看这个问题。首先,我们来考虑分式f(x)=−Q(x)3R(x)>f=−Q$f(x) = frac{- Q(x)^{3}}{R(x)}$。可以证明,如果f(x)>ff(x)除了0、1和∞以外还有别的分支点的话,我们就得不到最优解。所以,我们可以假设f(x)>ff(x)是别雷函数。

函数f(x)>ff(x)在0处的分支点就是Q(x)3>Q3Q(x)3的根,也就是Q(x)>QQ(x)的根(计算重数的话,一共有2k>2k2k个),但每个根的重数要乘以3。同样的道理,它在∞处的分支点就是R(x)>RR(x)的根,再加上无穷远点x=∞>x=∞x = ∞,因为R(x)>RR(x)的次数比Q(x)3>Q3Q(x)3要小,所以当x>xx趋向于无穷时,f(x)>ff(x)也会趋向于无穷。那么,它在1处的分支点又怎么样呢?这就是我们选取f(x)>ff(x)的目的:f(x)−1>f−1f(x) − 1就等于−P(x)2R(x)>−P$frac{- P(x)^{2}}{R(x)}$,所以,f(x)>ff(x)在1处的分支点,就是P(x)>PP(x)的根(计算重数的话,一共有3k>3k3k个),但每个根的重数要乘以2。我们可以假定f(x)>ff(x)没有别的分支点。我们要问的问题实际上就是:f(x)>ff(x)在∞处的分支点至少有多少个?

我们重温一下球面覆盖和二部地图概念之间的翻译表。

别雷函数 平面二部地图
覆盖的次数 边的条数
0处的分支点 黑色顶点
1处的分支点 白色顶点
∞处的分支点
0处和1处分支点的重数 顶点的度数
∞处分支点的重数 面的度数的一半

如果将所有这些要求翻译成二部地图的概念,我们实际上要解决的是这样的一个问题:

如果一个二部地图,它的白色顶点度数都是偶数,并且加起来是6k>6k6k,而黑色顶点的度数都是3的倍数,加起来也是6k>6k6k,那么,它至少有多少个面?(在这里,我们不能说白色顶点的度数都是2,因为P(x)>PP(x)可能有重根,黑色顶点同理)

如果k>kk很小的话,试着画画也就可以了。但因为现在k>kk可以要多大有多大,乱试一通大概不太管用。这就是借助别的数学工具的时候了。18世纪的大数学家欧拉(顺带一提,按博士导师的师承关系的话,他是笔者以及很多人的祖师爷)在开辟图论这一领域时,证明了下面的等式:如果一个平面地图有v>vv个顶点、e>ee条边和f>ff个面(最外面的也算一个面)的话,那么必然有

v−e f=2.>v−e f=2. v − e   f = 2.

我们把这个等式套到我们的问题上,看看会得到什么。容易知道,我们的二部地图必定有3k>3k3k条边,也就是说e=3k>e=3ke = 3k。把等式改写一下,我们得到f=2−v e>f=2−v ef = 2 − v   e。因为我们想知道至少有多少个面,所以我们应该尝试寻找最大可能的v>vv,也就是最大化顶点的个数。因为白色顶点的度数都是偶数,并且加起来是6k>6k6k,要获得最多的顶点,最好的方法就是要求每个顶点的度数都是2,这样就能拿到最多的3k>3k3k个顶点。同理,对于黑色顶点,最好的情况就是每个顶点的度数都是3,这样能拿到最多的2k>2k2k个顶点。所以,顶点的总数合起来最多是5k>5k5k个,也就是v≤5k>v≤5kv ≤ 5k。代入欧拉的等式,得到的就是f≥k 2>f≥k 2f ≥ k   2,也就是说这样的平面地图至少有k 2>k 2k   2个面。考虑到其中一个面对应的是无穷远点x=∞>x=∞x = ∞,这就意味着R(x)>RR(x)的度数至少是k 1>k 1k   1,而且要达到这个度数,R(x)>RR(x)必须不能有重根,也就是说每个面的度数都是2。

我们得到了想要的下界,但还要证明这个下界能够达到,而我们又不想计算无穷个满足条件的多项式,怎么办呢?这就是别雷定理出场的时候了:它告诉我们,只要对应的二部地图能画出来,那么满足要求的分式必定存在,而且系数都是代数数。所以,我们根本不需要计算,只需要画出满足条件的二部地图就足够了。这样的地图画法非常简单:首先画出一棵有2k>2k2k个黑色顶点的三叉树(也就是没有圈的地图,而分叉的顶点度数都是3),在每个叶顶点(也就是度数为1的顶点)上画一条跟自身连接的边,然后在每条边中间插入一个白色顶点,就得到了满足条件的二部地图。可以证明,满足条件的二部地图必定能用这样的方法构造出来。根据别雷定理,既然二部地图能画出来,那么满足要求的分式存在,也就是说使R(x)>RR(x)达到最小度数k 1>k 1k   1的P(x),Q(x)>PP(x关于初中物理教学中学生创新能力培养探讨,初中物理教学中的微课教学法研究。), Q(x)是存在的。

图片 2(x),Q(x)>PP(x), 关于初中物理教学中学生创新能力培养探讨,初中物理教学中的微课教学法研究。Q(x)施加更复杂的限制,用同样的办法,也能得到R(x)>RR(x)的最小度数。这个推广首先由U. Zannier在1995年给出,后来A. Zvonkine等利用二部地图的方法给出了简单得多的证明。

不仅如此,根据别雷定理,二部地图和分支点只有0、1和∞的分式有着一一对应的关系,所以,要知道有多少组P(x),Q(x)>PP(x), Q(x)能使R(x)>RR(x)达到最小度数,只需要知道有多少个由2k>2k2k个顶点组成的三叉树地图。我们之前考虑k=5>k=5k = 5的情况,截至2000年,数学家找到了两组解。但要知道一共多少组,只要在纸上随便画画,很容易数出来一共有四组解:

图片 3Q(−3)>Q(−3−−−√)$mathbb{Q}(sqrt{- 3})$中,一如预测。

这些预测又从何而来?镜像对称跟系数又有什么关系?要说清楚,就不得不提及二部地图的另一个名字——儿童涂鸦(dessin denfant),还有这个术语的创造者,也是现代代数几何的奠基者,伟大的数学家,亚历山大·格罗滕迪克。

图片 4

兰州理工大学宿舍整修后像垃圾场?校方称将追责

本文由开元棋牌发布于开元棋牌资讯,转载请注明出处:关于初中物理教学中学生创新能力培养探讨,初

关键词: 开元国际棋牌